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A origem da trigonometria

A aplicabilidade da Trigonometria nos vários campos da atividade humana é, atualmente, incontestável

Buscando a origem da Trigonometria encontramos opiniões controvertidas, mas há concordância em que a necessidade de evoluir na Agrimensura, Navegação e Astronomia foram fatores que impulsionaram o estudo trigonométrico.

Quando o Egito se curvou diante de Alexandre, o Grande, em 332 a.C., nasceu a cidade de Alexandria, onde se desenvolveu um grande centro de ensino (Museu, biblioteca e universidade).

No campo da Matemática e ligados a Alexandria estavam Aristarco de Samos (310 – 230 a.C), que fez estimativas sobre as distancias do sol e da lua relacionadas com a Terra, e Arquimedes de Siracusa (287 – 212 a.C), que desenvolveu um método de precisão para calcular o valor de pi.

Antes de Alexandria se tornar parte do Império Romano, novos estudos foram feitos pelo astrônomo Hiparco (180 – 125 a.C), relacionando lados e ângulos de um triangulo retângulo. Baseado na obra de Hiparco e seus contemporâneos, Ptolomeu (supostamente no ano 150) escreveu O Almagesto, provavelmente o mais antigo tratado de Trigonometria.

Nos séculos seguintes, outros estudos surgiram, mas foi no século XV que Purback abriu novos caminhos para a trigonometria e um dos seus discípulos, Johann Muller, (1436 – 1476) sistematizou o Tratado dos Triangulos.

A aplicabilidade da trigonometria nos vários campos da atividade humana é, atualmente, incontestável. Mas provavelmente os que fizeram os primeiros estudos sobre triangulo não vislumbraram esses horizontes.

Uma dessas contribuições pioneiras antecede a todas já descritas e foi dada por Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C. aproximadamente): o teorema de Pitágoras. Figura imprecisa histoticamnete, suas obras não sobreviveram e o que foi reconstruído não é digno de confiança. Apesar de a frase “Tudo é número”, ter sido atribuída a Pitágoras não há como provar.

Fundou na Magna Grécia uma sociedade secreta, que por suas bases matemáticas e filosóficas era semelhante a um culto órfico. Conta-se que a estrela de cinco pontas simbolizava a escola pitagórica.

 Matemática aula por aula / Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. -2. ed. renov. - São Paulo: FTD, 2005. - (Coleção matemática aula por aula).

Exercícios

1)      Determine o valor de K  ∈ R para que a função afim y = (2 -3k)x – 1 seja crescente.

2)      Estude o sinal das funções a seguir:

a)      Y = -x + 2

b)      Y = 2x + 10

3)      Classifique as funções f: R ⇾ R abaixo em linear, identidade e constante:

a)      Y = 5

b)      Y = x

c)       Y = 7

d)      Y = 3x

4)      Escreva a taxa de variação para cada uma das funções:

a)      Y = 4x + 5

b)      Y = -3x +7

c)       Y = 3

d)      Y = 1/3 x+2

5)      Na produção de peças, uma indústria tem custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o numero de unidades produzidas:

a)      escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;

b)      calcule o custo de 100 peças;

c)       escreva a taxa de variação da função.

6)      Dado o gráfico da função de R em R, que passa pelos pontos (0,2) e (-3,0) escreva a função y = ax + b.

7)      A função afim y = ax + b tem taxa de variação igual a 5 e seu gráfico passa pelo ponto A(2,-3).

a)      Determine a lei de formação dessa função.

b)      Construa seu gráfico.

8)      Quando um reservatório continha 400 l de água, foi aberto um registro para esvaziá-lo à razão de 4 l por segundo.

a)      Obtenha uma equação que expresse a quantidade de água no reservatório, a partir do instante em que foi aberto o registro.

b)      Qual é a taxa de variação da função afim obtida no item a?

TRABALHO E PROVA

O trabalho será no dia 13 / 06 / 2012.
Matéria: Página 110 à 124
Será individual

Avaliação será no dia 06 / 07 / 2012

Pontos do bimestre:

Avaliação - 4,0 pontos
Trabalho - 2,0 pontos
Saerjinho - 2,0 pontos
Vistos - 2,0 pontos

Bons estudos!

Exercícios - Função do 1º grau

1- Determine a raiz ou zero de cada função:

a) f(x) = 3x + 15

b) f(x) = -4x + 12

c) f(x) = 5x - 7

d) f(x) = -5x

2- O gráfico de uma função linear f passa por (2,-8).

a) Determine f.

b) Construa o gráfico de f.

c) Calcule f(9).

3- Determine m ∈ R para que f seja crescente em R:

a) f(x) = (2m-3)x

b) f(x) = (3m+6)x

c) f(x) = (-m+4)x

4- Construa o gráfico de y= -2x + 3, de domínio R. Analise a função quanto ao seu crescimento.

5- Obtenha a função de 1º grau cujo gráfico passa por:

a) A(0,3) e B(-1,2)

b) K(1,6) e L(-2,-3)

c)C(3,7) e D(0,0)

d) M(-1,3) e N(0,0)

Exercícios

1- Uma função linear f é tal que f(1) = 5. Determine a lei que define f(x).

2- Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5).

3- Uma função f afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1, determine o valor de f(3).

4- Identifique o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b) de cada uma das seguintes funções do 1º grau.

a) y = 2x -5                  b) y = -x/2 + 1/2        c) y = √2 x                  d) y = -2x + 1

5- Construa os gráficos das seguintes funções de R em R.

a)      y = x +2          b) y = -x + 1               c) y = 2x

6- Classifique como crescente ou decrescente as seguintes funções do 1º grau.

a)      y = 3x +1        b) y =  x -2                  c) y = -6x + 6              d) y = -4x + 3

Gráfico da função afim

Gráfico – Função Afim

Todo gráfico de uma função afim é uma reta.

Como fazer um gráfico

1° método:

          Para achar o gráfico de qualquer função, basta achar dois pontos qualquer dela e passar uma reta entre essas retas.

Exemplo: f(x) = x – 2

x	y
1	-1
3	1

2° método:

1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x.

2° passo: o valor de b é o ponto que toca no eixo do y.

x – 2 = 0

  x = 2

b = - 2

Função Afim

Uma função f: R → R chama-se função afim quando existem números reais a e b tal que y = ax + b, para todo x ∈ R.

Exemplos:

y = -x +5, em que a = -1 e b = 5

y = -7x, em que a = -7 e b = 0

Casos particulares de função afim

Função constante: quando existe um número real b tal que y = b, para todo x ∈ R.

Ex.: y = 3

Função Linear: quando b = 0, ou seja,  y = ax,  com a ≠ 0.

Ex.: y = 2x

Função identidade: quando a = 1 e b = 0.

Ex.: y = x

Exercícios

1- Identifique quais das funções f: R ⇾ R abaixo são afins.

y = -6x + 5 d) y = 4x² + 3

y = x² + 3x e) y = x – 2,7

y = 11x          f) y = 1/x + 6

2- Para cada item escreva uma função afim na forma y = ax + b, de acordo com os valores dos coeficientes a e b.

        a) a = 3 e b = 1 c) a = 4 e b = 0

b) a = 1 e b = -2         d) a = √3 e b = -1

3- Dada a função f: R ⇾ R, definida por y = 3x – 5, calcule:

f(2) b) f(-3)  c) f(0)

4- Seja a função f: R ⇾ R, definida por y = -2x – 6. Calcule os valores de x para obter:

f(x) = 8  b) f(x) = -25  c) f(x) = 0

5- Em certa companhia de energia elétrica, a quantia a ser paga pela fatura mensal é calculada da seguinte maneira: uma taxa fixa de R$ 15,00 mais R$ 0,45 por kwh consumida.

a) Escreva uma função que permita calcular a quantia y a ser paga mensalmente em função da quantia x de kwh consumidos.

b) De acordo com a função que você escreveu, calcule a quantia a ser paga por uma pessoa que consumiu em um mês: 85 kwh, 117 kwh e 100 kwh.

c) Quantos kwh uma pessoa consumiu em um mês sabendo que ela pagou R$ 51,00 pela fatura?

d) Escreva quais medidas devem ser tomadas para diminuir o consumo de energia elétrica em uma residência.

6- Sabendo que a lei da função f é f(x) = ax + b, determine f(2) nos seguintes casos:

a) f(1) = -1    f(-2) = -4

b) f(-2) = 11  f(4) = -13