Exercícios - Trigonometria na circunferência

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/circunferencia/exercicios/exercicios.htm

Neste site vocês poderão fazer os exercícios  e ver as soluções passo a passo.

Bons estudos!!!

Resposta do Desafio - Função Quadrática

a) f(x) = (24 - x)(40 + 2x) = -2x² + 8x + 960

b) f(6) = -2 . 6² + 8 . 6 + 960 = -72 + 48 + 960 = 936

c) f(x) = 966 

    -2x² + 8x + 960 = 966

    -2x² + 8x + 6 = 0

∆ = (-8)² - 4 . 2 . 6 = 16

x = -(-8) ± √16

            2 . 2

x = 8 ± 4 

           4

x´= 3 e x´´ = 1

R: 1 ou 3 lugares

d) F(0) = -2 . 0² + 8 . 0 + 960 = 960

      

    F(1) = 966

    

    F(2) = -2 . 2² + 8 . 2 + 960 = 968

   F3) = 966

  F(4) = -2 . 4² + 8 . 4 + 960 = 960

  F(5) = -2 . 5² + 8 . 5 + 960 = 950

Sim, Pois, para 1 , 2 ou 3 lugares não ocupados o valor arrecadado é maior do que o arrecadado com todos os lugares ocupados.

Aula 32 - Matemática - Ens. Médio - Telecurso

Esse tal de Bhaskara

Aula 31 - Matemática - Ens. Médio - Telecurso

Função Quadrática - Exercícios

1) Determine as coordenadas (x,y) do vértice da parábola que representa cada uma das seguintes funções:

a) y = x² + 6x + 8                             f) y = -x² + 36

b) y = x² - 2x - 8                              g) y = -x² + 7x -10

c) y = -x² + 8x - 15                          h) y = x² -10x + 24

d) y = -4x² + 6x                               i) y = 2x² - 4x - 1

e) y = x² + 6x + 11                          j) y = -4x² - 2x

2) Determine os zeros de cada uma das seguintes funções quadráticas.

a) y = x² - 2x - 24

b) y = x² - 6x + 9

c) y = - x² + 9x - 14

3) Verifique se cada uma das seguintes funções tem ponto de minimo ou ponto de máximo e dê as coordenadas desse ponto.

a) y = x² - 8x + 6                          e) y = x² - 4x - 45

b) y = -x² - 4x + 5                         f) y = 3x²  + 6x

c) y = -6x² + 6x                            g) y = -x² + 9

d y = x² - 16x                               h) y = 5x² - 8x + 3

4) Um dardo é lançado da origem, segundo um determinado referencial, e percorre a trajetória de uma parábola. A função que representa essa parábola é y = -x² + 4x. Quais são as coordenadas do ponto onde esse dardo atinge sua altura máxima?

Retirado do livro A conquista da Matemática edição renovada.

Desafio

Para realizar um passeio pela cidade histórica de Ouro Preto(MG), um grupo de estudantes fretou, em uma agência de turismo, um micro-ônibus de 24 lugares. O acordo com a agência foi que cada estudante pagaria R$ 40,00 mais uma taxa de R$ 2,00 por lugar não ocupado no micro-ônibus.

a) Usando x para representar a quantidade de lugares não ocupados, escreva uma função quadrática que permita calcular o total arrecadado pela agência de turismo após os estudantes efetuarem o pagamento do passeio. 

b) Qual o valor arrecadado pela agência no caso de 6 lugares não serem ocupados?

c) Quantos lugares devem ficar desocupados para que agência arrecade R$ 966,00?

d) Para cada valor de x, determine o total arrecadado pela agência de turismo.

• x = 0
• x = 1
• x = 2
• x = 3
• x = 4
• x = 5

Para agência de turismo é vantajoso que alguns lugares não sejam ocupados? Justifique.

RIBEIRO, Jackson. Ciência, Linguagem e Tecnologia. 1ª edição São Paulo,2011.

Números Primos

Os Números primos inquietaram os matemáticos desde a Antiguidade na busca de uma formula que, ao ser aplicado a qualquer n natural, permitisse obtê-los. Dois dos principais resultados obtidos provam que há infinitos números primos. O clivo de Eratóstenes, mediante alguns aprimoramentos, permitiu testar uma grande quantidade de números primos, sendo o maior deles o 2¹²⁷ - 1, com trinta e nove algarismos, publicado no trabalho do Frances Anatole Lucas (1842-1891) em 1876.

Atualmente, com a tecnologia a nosso favor, os computadores mostraram que são primos os números da forma 2ⁿ -1, para valores específicos de n relativamente grandes, obtendo com isso números primos enormes. Em dezembro de 2005, com a ajuda de um computador em uma universidade americana, foi obtido um número primo com mais de 9 milhoes de algarismos.

Cabe destacar, porém, que não há nenhum dispositivo prático, uma função que determine apenas números primos para uma infinidade de números naturais n, pois em dado momento acaba por fornecer um número composto, isto é, aqueles que possuem mais de dois divisores.

A função f(n) = n² - n + 41, por exemplo, fornece números primos para n < 41, mas f(41) = 41² é composto. Outra função quadrática utilizada para obter números primos é: f(n) =n² - 79n +1601, para n < 80.

a)     Utilizando uma dessas funções, obtenham números primos para:

F(15)

F(27)

F(32)

F(43)

b)    Expliquem por que para n = 80 não se obtém um número primo com a segunda função.

RIBEIRO,Jackson. Ciência, Linguagem e Tecnologia, ed scipione, 1ª edição Sâo Paulo- 2011

PROVA

Nossa avaliação que seria no dia 06/07/2012 foi transferida para o dia 04/07/2012.

EXERCITANDO

1) Um vidraceiro recebeu a seguinte encomenda: um vidro com perímetro de 40 cm, em forma de paralelogramo, sendo que um dos lados deve ter 5 cm de diferença em relação ao outro e com o menor ângulo interno igual a 15º. Para fazer o orçamento, ele precisa calcular a área. Qual é a área do vidro? Dado: sen 15º = 0,26.

2) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Caminhando 30 metros, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Calcule a altura do prédio. (Utilize √3 = 1,7 )

CURIOSIDADE

QUEM INVENTOU A TRIGONOMETRIA

A trigonometria não é obra de um só homem ou nação. A sua história tem milhares de anos e faz parte de todas as grandes civilizações.

Percebe-se que, desde os tempos de Hiparco até os tempos modernos, não havia "razão" trigonométrica. Ao invés disso, os gregos e depois os hindus e os muçulmanos usaram linhas trigonométricas. Essas linhas primeiro tomaram a forma de cordas e mais tarde meias cordas, ou senos.

Depois, essas cordas e linhas de senos seriam associadas a valores numéricos, possivelmente aproximações, e listados em tabelas trigonométricas. 

DESAFIO

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Um fazendeiro quis testar a inteligência do filho, chamou-o e disse:

   

- Filho, tome R$100,00. Eu quero que você compre 100 cabeças de gado com esse dinheiro. Porém, não pode faltar nem sobrar dinheiro e tem que ser 100 cabeças de gado exatas, sendo o preço de cada animal é:

Touro: R$ 10,00 Vaca: R$ 5,00 Bezerro: R$ 0,50

E mais uma coisa: você tem que trazer no mínimo um animal de cada.

Como o filho do fazendeiro conseguiu fazer essa compra?

PONTO EXTRA

Pesquise a vida e obra de Pitágoras. destaque a importância prática, para aquela época, dos estudos desenvolvidos por ele. Pense também na possibilidade de relacionar, nos dias atuais, a aplicabilidade de Trigonometria ao estudo de um fenômeno físico.

Este trabalho será individual e deverá ser entrgue até o dia 13 de junho de 2012.

Boas pesquisas!

TEXTO



A origem da trigonometria

A aplicabilidade da Trigonometria nos vários campos da atividade humana é, atualmente, incontestável

Buscando a origem da Trigonometria encontramos opiniões controvertidas, mas há concordância em que a necessidade de evoluir na Agrimensura, Navegação e Astronomia foram fatores que impulsionaram o estudo trigonométrico.

Quando o Egito se curvou diante de Alexandre, o Grande, em 332 a.C., nasceu a cidade de Alexandria, onde se desenvolveu um grande centro de ensino (Museu, biblioteca e universidade).

No campo da Matemática e ligados a Alexandria estavam Aristarco de Samos (310 – 230 a.C), que fez estimativas sobre as distancias do sol e da lua relacionadas com a Terra, e Arquimedes de Siracusa (287 – 212 a.C), que desenvolveu um método de precisão para calcular o valor de pi.

Antes de Alexandria se tornar parte do Império Romano, novos estudos foram feitos pelo astrônomo Hiparco (180 – 125 a.C), relacionando lados e ângulos de um triangulo retângulo. Baseado na obra de Hiparco e seus contemporâneos, Ptolomeu (supostamente no ano 150) escreveu O Almagesto, provavelmente o mais antigo tratado de Trigonometria.

Nos séculos seguintes, outros estudos surgiram, mas foi no século XV que Purback abriu novos caminhos para a trigonometria e um dos seus discípulos, Johann Muller, (1436 – 1476) sistematizou o Tratado dos Triangulos.

A aplicabilidade da trigonometria nos vários campos da atividade humana é, atualmente, incontestável. Mas provavelmente os que fizeram os primeiros estudos sobre triangulo não vislumbraram esses horizontes.

Uma dessas contribuições pioneiras antecede a todas já descritas e foi dada por Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C. aproximadamente): o teorema de Pitágoras. Figura imprecisa histoticamnete, suas obras não sobreviveram e o que foi reconstruído não é digno de confiança. Apesar de a frase “Tudo é número”, ter sido atribuída a Pitágoras não há como provar.

Fundou na Magna Grécia uma sociedade secreta, que por suas bases matemáticas e filosóficas era semelhante a um culto órfico. Conta-se que a estrela de cinco pontas simbolizava a escola pitagórica.

 Matemática aula por aula / Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. -2. ed. renov. - São Paulo: FTD, 2005. - (Coleção matemática aula por aula).

Exercícios

1)      Determine o valor de K  ∈ R para que a função afim y = (2 -3k)x – 1 seja crescente.

2)      Estude o sinal das funções a seguir:

a)      Y = -x + 2

b)      Y = 2x + 10

3)      Classifique as funções f: R ⇾ R abaixo em linear, identidade e constante:

a)      Y = 5

b)      Y = x

c)       Y = 7

d)      Y = 3x

4)      Escreva a taxa de variação para cada uma das funções:

a)      Y = 4x + 5

b)      Y = -3x +7

c)       Y = 3

d)      Y = 1/3 x+2

5)      Na produção de peças, uma indústria tem custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o numero de unidades produzidas:

a)      escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças;

b)      calcule o custo de 100 peças;

c)       escreva a taxa de variação da função.

6)      Dado o gráfico da função de R em R, que passa pelos pontos (0,2) e (-3,0) escreva a função y = ax + b.

7)      A função afim y = ax + b tem taxa de variação igual a 5 e seu gráfico passa pelo ponto A(2,-3).

a)      Determine a lei de formação dessa função.

b)      Construa seu gráfico.

8)      Quando um reservatório continha 400 l de água, foi aberto um registro para esvaziá-lo à razão de 4 l por segundo.

a)      Obtenha uma equação que expresse a quantidade de água no reservatório, a partir do instante em que foi aberto o registro.

b)      Qual é a taxa de variação da função afim obtida no item a?

TRABALHO E PROVA

O trabalho será no dia 13 / 06 / 2012.
Matéria: Página 110 à 124
Será individual

Avaliação será no dia 06 / 07 / 2012

Pontos do bimestre:

Avaliação - 4,0 pontos
Trabalho - 2,0 pontos
Saerjinho - 2,0 pontos
Vistos - 2,0 pontos

Bons estudos!

Exercícios - Função do 1º grau

1- Determine a raiz ou zero de cada função:

a) f(x) = 3x + 15

b) f(x) = -4x + 12

c) f(x) = 5x - 7

d) f(x) = -5x

2- O gráfico de uma função linear f passa por (2,-8).

a) Determine f.

b) Construa o gráfico de f.

c) Calcule f(9).

3- Determine m ∈ R para que f seja crescente em R:

a) f(x) = (2m-3)x

b) f(x) = (3m+6)x

c) f(x) = (-m+4)x

4- Construa o gráfico de y= -2x + 3, de domínio R. Analise a função quanto ao seu crescimento.

5- Obtenha a função de 1º grau cujo gráfico passa por:

a) A(0,3) e B(-1,2)

b) K(1,6) e L(-2,-3)

c)C(3,7) e D(0,0)

d) M(-1,3) e N(0,0)

Exercícios

1- Uma função linear f é tal que f(1) = 5. Determine a lei que define f(x).

2- Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5).

3- Uma função f afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1, determine o valor de f(3).

4- Identifique o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b) de cada uma das seguintes funções do 1º grau.

a) y = 2x -5                  b) y = -x/2 + 1/2        c) y = √2 x                  d) y = -2x + 1

5- Construa os gráficos das seguintes funções de R em R.

a)      y = x +2          b) y = -x + 1               c) y = 2x

6- Classifique como crescente ou decrescente as seguintes funções do 1º grau.

a)      y = 3x +1        b) y =  x -2                  c) y = -6x + 6              d) y = -4x + 3

Gráfico da função afim

Gráfico – Função Afim

Todo gráfico de uma função afim é uma reta.

Como fazer um gráfico

1° método:

          Para achar o gráfico de qualquer função, basta achar dois pontos qualquer dela e passar uma reta entre essas retas.

Exemplo: f(x) = x – 2

x	y
1	-1
3	1

2° método:

1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x.

2° passo: o valor de b é o ponto que toca no eixo do y.

x – 2 = 0

  x = 2

b = - 2

Função Afim

Uma função f: R → R chama-se função afim quando existem números reais a e b tal que y = ax + b, para todo x ∈ R.

Exemplos:

y = -x +5, em que a = -1 e b = 5

y = -7x, em que a = -7 e b = 0

Casos particulares de função afim

Função constante: quando existe um número real b tal que y = b, para todo x ∈ R.

Ex.: y = 3

Função Linear: quando b = 0, ou seja,  y = ax,  com a ≠ 0.

Ex.: y = 2x

Função identidade: quando a = 1 e b = 0.

Ex.: y = x

Exercícios

1- Identifique quais das funções f: R ⇾ R abaixo são afins.

y = -6x + 5 d) y = 4x² + 3

y = x² + 3x e) y = x – 2,7

y = 11x          f) y = 1/x + 6

2- Para cada item escreva uma função afim na forma y = ax + b, de acordo com os valores dos coeficientes a e b.

        a) a = 3 e b = 1 c) a = 4 e b = 0

b) a = 1 e b = -2         d) a = √3 e b = -1

3- Dada a função f: R ⇾ R, definida por y = 3x – 5, calcule:

f(2) b) f(-3)  c) f(0)

4- Seja a função f: R ⇾ R, definida por y = -2x – 6. Calcule os valores de x para obter:

f(x) = 8  b) f(x) = -25  c) f(x) = 0

5- Em certa companhia de energia elétrica, a quantia a ser paga pela fatura mensal é calculada da seguinte maneira: uma taxa fixa de R$ 15,00 mais R$ 0,45 por kwh consumida.

a) Escreva uma função que permita calcular a quantia y a ser paga mensalmente em função da quantia x de kwh consumidos.

b) De acordo com a função que você escreveu, calcule a quantia a ser paga por uma pessoa que consumiu em um mês: 85 kwh, 117 kwh e 100 kwh.

c) Quantos kwh uma pessoa consumiu em um mês sabendo que ela pagou R$ 51,00 pela fatura?

d) Escreva quais medidas devem ser tomadas para diminuir o consumo de energia elétrica em uma residência.

6- Sabendo que a lei da função f é f(x) = ax + b, determine f(2) nos seguintes casos:

a) f(1) = -1    f(-2) = -4

b) f(-2) = 11  f(4) = -13